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运筹学-北京邮电大学-7PPT资源下载

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  • 运筹学-北京邮电大学-7简介
  • 第七章 随机服务理论概述
    确定型只是随机现象的特例
    7.1 随机服务系统
    系统的输入与输出是随机变量
    A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计算电话机键配置的方法,为随机服务理论奠定了基础
    又称为排队论(Queuing Theory)或拥塞理论(Congestion Theory)
      与服务系统性能相关的特性
    服务系统存在来自两个矛盾方面的要求
    顾客希望服务质量好,如排队等待时间短,损失率低
    系统运营方希望设备利用率高
    给用户一个经济上能够承受的满意的质量
    哪些系统特性会影响系统的性能?
    服务机构的组织方式与服务方式
    顾客的输入过程和服务时间分布
    系统采用的服务规则
         7.1.1 服务机构的组织方式与服务方式
    单台制和多台制
    并联服务
    串联服务
    串并联服务、网络服务
    全利用度、部分利用度
      与服务系统性能相关的特性
         7.1.2 输入过程和服务时间
    顾客单个到达或成批到达
    顾客到达时间间隔的分布和服务时间的分布
    顾客源是有限的还是无限的
         7.1.3 服务规则
    损失制
    等待制:先到先服务(FIFO),后到先服务,随机服务,优先权服务
    混合制
    逐个到达,成批服务;成批到达,逐个服务
    7.2 随机服务过程
    单台服务系统、等待制、先到先服务
    顾客在系统中的总时长:逗留时间=等待时长+服务时长
    等待时长与顾客到达率和服务时长有关

    当服务台连续不断服务时,有如下关系:
    wi+1+i+1= wi+hi
    wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长,一般地有

    上述关系是普遍成立的,与服务台设置和服务规则无关
    下面分析等待顾客数、等待时间和顾客到达率的关系
    到达率定义为单位时间内平均到达的顾客数,即
        t= (t) / t
    令 (t) 表示在时段(0, t)内到达系统内顾客的总逗留时长
    则每一个顾客的平均逗留时间为
        Wdt= (t) /(t)
    系统中平均逗留顾客数可表达为
          Ldt= (t) / t = ((t) / t )((t) /(t) ) = t Wdt    (Little formula)

    系统处于稳态时的利特尔公式:Ld=  Wd
    利特尔公式也是普遍成立的,已知其中任两个量,可以求出另一个量
    利特尔公式的分解:
        Ld =  Wd =  (Wq + h ) = Lq + Ln
        Lq =  Wq   Ln =  h
    Wq 是顾客的平均排队等待时间
    Lq 是排队等待的平均队长
    h   是顾客的平均服务时长
    Ln 是同时接受服务的平均顾客数(即平均服务台占用数)
    7.3 服务时间与间隔时间
         7.3.1 概述
    顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性,最好的描述方法就是概率分布;同样顾客到达的间隔时间也具有一定的概率分布
    服务时间和到达间隔时间服从什么分布?可以先通过统计得到经验分布,然后再做理论假设和检验
    经验分布一般采用直方图来表示,如下图

    若统计区间分得越细,样本越多,则经验分布的轮廓越接近曲线
    一般服务时间和间隔时间都是非负的连续实变量,令 h 代表服务时间, 代表间隔时间,t 为给定的时间,则它们的概率分布函数分别表示为
     F(t)=P{h t}  F(t)=P{  t}
    它们的概率密度函数为 f(t)=F(t),具有性质:
       f(t)0,  f(t)dt=1
    服务时间落在区间(a, c)的概率为
         7.3.2 常用的概率分布
    1、定长分布
    流水线的加工时间
         7.3.2 常用的概率分布
    3、爱尔兰分布
    一种代表性更广的分布
         7.3.3 负指数分布的特点
    负指数分布之所以常用,是因为它有很好的特性,使数学分析变得方便
    无记忆性。指的是不管一次服务已经过去了多长时间,该次服务所剩的服务时间仍服从原负指数分布
         7.3.3 负指数分布的特点
    一个服从负指数分布的服务,在下一瞬间结束的概率
    7.4 输入过程
    即顾客到达的分布,可用相继到达顾客的间隔时间描述,也可以用单位时间内到达的顾客数描述
    间隔时间服从定长分布
    单位时间内到达的顾客数服从波松分布(法国数学家Poisson, 1837)
    间隔时间服从爱尔兰分布
    一般独立同分布
         7.4.1 波松输入过程及其特点
    (0, t)时间内到达 k 个顾客的个数服从波松分布,若
         7.4.1 波松输入过程及其特点
    (1) 平稳性:顾客到达数只与时间区间长度有关
    (2) 无后效性:不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的
    (3) 普通性:在 t 时间内到达一个顾客的概率为  t +o(t ),到达两个或两个以上顾客的概率为 o(t );即两个顾客不可能同时到达
    波松过程具有可迭加性
    即独立的波松分布变量的和仍为波松分布
         7.4.1 波松输入过程及其特点
    波松过程的到达间隔时间为负指数分布
    令  代表间隔时间,则概率 P{ > t}代表时间区间(0, t)内没有顾客来的概率;由波松分布可知
       P0(t)= P{ > t}=et
    故间隔时间  的分布为 P{  t}=1et
     7.4.2 马尔科夫链
    马尔科夫链(Markov Chain)又简称马氏链,是一种离散事件随机过程。用数学式表达为
    P{Xn+1=xn+1| X1=x1, X2=x2, ... , Xn=xn}= P{Xn+1=xn+1| Xn=xn}
    Xn+1的状态只与 Xn的状态有关,与 Xn 前的状态无关,具有无记忆性,或无后效性,又称马氏性
    状态转移是一步一步发生的,一步状态转移概率
       Pij(t)=P{Xn+1=j| Xn=i}
         例 7.4.2
         一售货员出售两种商品A和B,每日工作 8 小时。购买每种商品的顾客到达过程为波松分布,到达率分别为 A=8人/日, B=16人/日,试求:(1) 1小时内来到顾客总数为 3 人的概率;(2) 三个顾客全是购买B类商品的概率。
    解:(1)总到达率为 A+ B=24人/日,1 小时=1/8 日,故
    7.5 生灭过程
    一种描述自然界生灭现象的数学方法,如细菌的繁殖和灭亡,人口的增减,生物种群的灭种现象等
    采用马氏链
    令 N(t)代表系统在时刻 t 的状态,下一瞬间 t+t 系统的状态只能转移到相邻状态,或维持不变,如图所示
    三种转移是不相容的,三者必居其一
    只有具有无记忆性和普通性的过程(分布)才适用马氏链
    令 Pj(t)=P{N(t)=j}代表系统在时刻 t 处于状态 j 的概率
         生灭过程的马氏链
    根据马氏链,应用全概率公式,有状态转移概率方程
         生灭方程的推导过程
    将上述三个差分方程化为微分方程
         生灭过程稳态解
    方程(1), (2), (3) 与稳态状态转移图一一对应;递归解如下:
       满足生灭过程的条件
    系统的输入过程和服务过程具有平稳、无记忆性和普通性
    服务台是独立的、相同的、并联的
    波松输入过程和负指数服务时长就具有这些性质
    可以用马氏链来描述系统的状态转移
    这种系统称为生灭服务系统,一般用 M/M/n 表示,又称为标准服务系统;
    标准服务系统的形式很多,但都是基于生灭方程,关键是找出 j , j 的不同表达式,将它们代入生灭方程
    标准服务系统的表示法:(X/Y/Z: A/B/C),X 表示输入过程,Y 表示服务过程,Z 表示并联服务台的个数,A 表示顾客源,B 表示系统容量,C 表示服务规则
    (M/M/n: /m/FIFO) 表示波松输入,负指数服务时长,n 个并联服务台,顾客源无穷,系统容量为 m, mn,先到先服务
    D 定长分布;Ek k阶爱尔兰分布;G 一般独立分布
    7.6 纯增过程
    令生灭过程中所有消亡率 j=0, 即只有顾客到达,没有顾客离去
    令所有 j=,且系统服务台无限,即 n
    容易得到下列微分方程组

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